CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES:

Condición Necesaria:

Al decir que A es necesaria para B, estamos diciendo que B no puede ser verdadera a menos que A sea verdadera, o que cuando quiera, dondequiera, o como sea, B es verdadera, si A lo es.

En cambio la condición necesaria A puede ocurrir sin que B suceda.

 
 

Condición Suficiente:

Al decir que A es suficiente para B, estamos diciendo precisamente lo contrario: que A no puede ocurrir sin B, o cuando sea que ocurra A, B ocurrirá.

Las condiciones necesarias y suficientes consecuentemente están relacionadas. A es una condición necesaria para B solo en el caso de que B sea una condición suficiente para A.

Debemos considerar que una condición suficiente, por definición, es aquello que no puede ocurrir sin aquello para lo que es condición.

 
 

Condición Necesaria y Suficiente:

Decir que A es necesaria y suficiente para B es decir dos cosas simultáneamente:

1. A es necesaria para B
   
2. A es suficiente para B.
   

En el momento en que A es necesaria y suficiente para B, B es necesaria y suficiente para A. «A es necesario y suficiente para B» expresa la misma cosa que «A si y solo si B».

 

 
 

TIPOS DE NÚMEROS:

Los números más conocidos son los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., que se usan para contar. Si añadimos los números negativos y el cero (0) obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales. Si incluimos todos los números que son expresables con decimales pero no con fracciones de enteros (irracionales), obtenemos los números reales.

Existe toda una teoría de los números, que clasifica a los números en:

• Números naturales
  
  • Números primos
    
  • Números compuestos
    
  • Números perfectos
    
• Números enteros
  
  • Números pares
    
  • Números impares
    
• Números racionales
  
• Números reales
  
  • Números irracionales
    
  • Números algebraicos
    
  • Números trascendentes
    
• Números hiperreales
  
• Números complejos
  
• Cuaterniones
  
• Números infinitos
  
• Números transfinitos
  
• Números negativos
  
• Números fundamentales: π y e
  

 
 

Números Naturales:

Un número natural es cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3... (o el mismo conjunto excluyendo el 0 según qué autores se consulten), que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta.

Las operaciones que se pueden realizar con el conjunto de los números naturales son: la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Dentro de los números naturales se pueden distinguir:

        -Números primos: El conjunto de los números primos es un subconjunto propio de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.

        -Números compuestos: Un número natural es compuesto si tiene más de dos divisores distintos. También lo podemos definir como aquel número natural que es mayor que 1 y no es primo. Todo número compuesto puedo descomponerse de forma única como producto de números primos.

        -Números perfectos: Un número perfecto es un natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo.

 
 

Números Enteros:

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

Dentro de los números enteros distinguimos:

        -Números pares: Un número par es un número entero múltiplo de 2, es decir, un número entero m es número par si y solo si existe otro número entero n tal que: m = 2 × n

        -Números impares: Los números impares son aquellos números enteros que no son pares y por tanto no son múltiplos de 2.

 
 

Números Racionales:

En sentido amplio, se llama número racional o fracción común, a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero –el término "racional" alude a "ración" o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales.

 

Números Irracionales:

En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Los números irracionales también pueden describirse como aquellos que tienen una expansión decimal aperiódica. Este conjunto de números es un subconjunto de los número reales.

Los números irracionales más conocidos son: el número "pi" (3,1416…), el número "e" (2,7183…), y el número "áureo" (1,6180…) entre otros.

 

Número Reales:

En primera instancia, se puede describir a los números reales como todos aquellos que poseen una expansión decimal. Los números reales incluyen tanto a los números racionales como 31, 25.4, 37/22, así como a los números irracionales tales como .

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario.

 
 

 

 

 
 

 
 

 

ECUACIÓN DE 2º GRADO:

La ecuación de 2º es aquella que presenta al menos una incógnita cuyo grado máximo es 2. Se expresa de la siguiente manera: ax²+bx+c = 0

Dependiendo de la presencia total o parcial de sus miembros (siempre que no sea el 1º miembro ya que no se trataría de una ecuación de 2º grado sino de una ecuación de grado1), se puede resolver de tres formas distintas:

-Ecuaciones de la forma ax²+c =0 à
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

x²− 9 = 0

Pasamos -9 al segundo miembro

x² = 9

Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada

x = ±√9 = ±3

-Ecuaciones de la forma ax²+bx=0 à
Tengamos:

2x²+4x=0

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es sacar factor común:

2x(x + 2) = 0

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

x + 2 = 0

x = − 2

Por lo tanto, las 2 soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -2.

 

-Ecuaciones de la forma ax²+bx+c=0 à
Tengamos por ejemplo la ecuación:

x + 5x + 6 = 0

Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos directamente la fórmula general:

 

Por lo tanto, para resolver esta ecuación sustituimos las letras por los números:

 

 

Es importante recordar que si el resultado dentro de la raiz en la formula general es negativo, no tiene soluciones reales.

A partir de esta fórmula obtenemos que las soluciones válidas para esta ecuación son -2 y -3.

 

 

 

 

RECTA EN EL PLANO: